要证明一个函数有界，可以使用以下步骤：

1. 确定函数的定义域。函数的定义域是自变量取值的范围，它决定了函数值的取值范围。

2. 确定函数在定义域内的最大值和最小值。最大值和最小值是函数在定义域内取到的最高数值和最低数值。

3. 将函数的表达式进行适当的变换，将其表示为两个常数之和的形式。如果函数表达式可以表示为两个常数之和的形式，那么其中一个常数就是函数的上界，另一个常数就是函数的下界。

4. 如果函数在定义域内取到的最大值和最小值分别小于或等于上界和下界，那么函数就有上界和下界，即有界函数。

下面是一个简单的例子，说明如何证明一个函数有界：

假设函数 $f(x) = x^2 - 4x + 5$ 在定义域内取值。根据函数的表达式，我们可以得到 $f(x) \geq 0$，因此函数有最大值和最小值。当 $x = 2$ 时，函数取得最大值 $f(2) = 1$；当 $x = - \infty$ 时，函数取得最小值 $f(- \infty) = 5$。

由于 $f(x)$ 可以表示为 $f(x) = (x - 2)^2 + 1$，其中 $(x - 2)^2 \geq 0$，因此 $f(x)$ 的上界为 $1$，下界为 $5$。由于最大值和最小值分别小于或等于上界和下界，因此函数有界。

总之，要证明一个函数有界，需要确定函数的最大值和最小值，并将其表示为两个常数之和的形式，再根据最大值和最小值与上界和下界的比较来确定函数是否有界。

要证明一个函数有界，需要满足以下两个条件之一：

1. 存在常数 M > 0，使得对于定义域内的任意自变量 x，都有 |f(x)| ≤ M。

2. 存在常数 M > 0 和 x0 ∈ 定义域，使得对于定义域内的任意自变量 x，都有 |f(x)| ≤ M|x - x0|。

具体证明方法如下：

假设函数 f(x) 在定义域 D 上连续，且在 D 的某个邻域内连续。如果函数 f(x) 在 D 上有界，那么它的值域一定是有界的。因此，我们只需要证明函数 f(x) 在定义域 D 上有界即可。

为了证明函数 f(x) 在定义域 D 上有界，我们可以使用闭区间套定理。假设 D 是闭区间 [a, b]，如果存在正数序列 {xn}n=1∞，使得 xn ∈D 且 xn → a(n → ∞)，那么函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上有界。因此，我们只需要证明存在正数序列 {xn}n=1∞，使得 xn → a(n → ∞)，且对于任意 n∈N，都有 f(xn) ∈[f(a), f(b)]即可。

如果函数 f(x) 在定义域 D 上不连续，那么我们需要使用其他方法来证明它有界。例如，我们可以使用极限的定义和不等式来证明函数 f(x) 在定义域 D 上有界。

总之，要证明一个函数有界，需要满足以上两个条件之一，并且需要使用适当的数学方法来证明它。

要证明函数有界变化，需要满足以下两个条件：

1. 函数在定义域内连续或可导。

2. 函数在定义域内的最大值和最小值之间有一定的范围，即函数有界。

具体证明方法如下：

假设函数f(x)在定义域D内连续或可导，且最小值为f(x_min)和最大值为f(x_max)。我们需要证明存在一个正数M，使得当x∈D时，有f(x) ≤ M。

为了证明这个不等式，我们可以使用以下步骤：

1. 假设f(x_min) = 0。在这种情况下，f(x) ≤ f(x_min) + |f(x)| ≤ |f(x)|。因此，f(x)在定义域D内是绝对有界的。

2. 如果f(x_min)不为0，我们需要找到一个正数M，使得当|f(x)| ≤ M时，f(x)也是绝对有界的。为了做到这一点，我们可以选择M为f(x_max)与一个足够大的常数之和。这样，当|f(x)| > M时，f(x) < f(x_max)。因此，当|f(x)| ≤ M时，f(x)的最大值不会超过f(x_max)。

综上所述，我们证明了函数在定义域内连续或可导时是有界变化的。如果函数不满足以上条件，那么它可能不是有界变化的。