arctan2x的导数是1/(1+x^2)（2x）。其中，x≠0。这是因为arctan2x可视为一个函数，这个函数在(0，inf)有定义，且满足f(2x)=arctan(x)。根据求导法则，f'(2x)=2f'(x)，所以(arctan2x)'=(2x)'arctan(x)+(arctanx)'(2x)=2/(1+x^2)+4x/(1+x^2)^(2)。

arctan2x的导数是：(arctan2x)'=(1/(1+x^2))'=(1/2)(-2x)(-1+1)=x/(1+x^2)。请注意，这里的x可以是任意实数，arctan2x是反正切函数，通常用于两个向量之间的角度。导数也被称为微商，是函数在某一点的变化率，对于一元函数和多元函数都适用。

arctan2x的导数是 (1+(2x)^2)arctan(2x)。

这是因为，arctan2x可以看作是求arctanx函数在区间(2x, ∞)或(-∞, -2x)上的值。根据求导法则，函数f(x)的导数f'(x)可以表示为f'(x)=lim[Δx→0] [f(x+Δx)-f(x)]/Δx。在这里，当Δx→0时，f(x+Δx)-f(x)项中，只有当Δx是tan(θ)=2x时的tan(θ+Δθ)项的值接近于零，因此arctan2x的导数可以通过tan(θ+Δθ)的泰勒级数展开式来求得。

具体来说，arctan(2x)的导数可以通过泰勒级数展开式写成：arctan(2x)=π/2-1/2ln(1+4x^2)，其中ln表示自然对数。因此，arctan2x的导数可以进一步写成arctan(2x)'=(π/2)/ln(1+4x^2)。由于arctan(2x)和ln(1+4x^2)都是可导函数，因此arctan2x也是可导函数，其导数可以通过复合函数的求导法则进行计算。具体来说，arctan2x的导数可以写成(π/2)/ln(1+4x^2)=(1+(2x)^2)arctan(2x)。

需要注意的是，这里的推导过程是基于泰勒级数展开式和复合函数求导法则进行的，实际应用中还需要考虑其他因素，如函数的定义域、函数值是否连续等。